Nombres complexes

Périmètre : Terminales C et D. Volume indicatif de la progression 2026-2027 : Terminale C : 13 h ; Terminale D : 17 h.

La leçon est conservée comme unité autonome pour permettre la réutilisation du programme maître par série et par concours. Les volumes officiels comprennent cours, exercices, travaux dirigés et évaluations ; ils ne sont pas interprétés comme un temps d’écran obligatoire dans l’application.

Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle, module, argument, conjugué, opérations, équations, racines et formules d’Euler/Moivre dans le périmètre officiel.

Une maîtrise complète exige de relier les notions suivantes : Forme algébrique, Conjugué, Module, Argument, Forme trigonométrique, Forme exponentielle, Formule de Moivre, Racines n-ièmes. L’objectif n’est pas d’appliquer des recettes isolées, mais de reconnaître la structure du problème, choisir l’outil pertinent, justifier son emploi puis vérifier la cohérence mathématique du résultat.

Avant toute application, identifier précisément les hypothèses : domaine de définition, non-nullité d’un dénominateur, positivité éventuelle, appartenance à un intervalle, indépendance ou continuité lorsqu’elles sont requises. Écrire les équivalences et implications dans le bon sens. Une propriété mémorisée sans ses hypothèses ne constitue pas une justification.

Dans les calculs, conserver une écriture exacte aussi longtemps que possible. N’utiliser une valeur approchée que si la consigne ou l’interprétation l’exige, et indiquer alors le niveau d’arrondi.

1. Passer à la forme la mieux adaptée à l’opération.
2. Pour somme/différence, privilégier la forme algébrique ; pour produit/quotient/puissance, les formes trigonométrique ou exponentielle sont souvent efficaces.
3. Pour une équation, identifier le degré et le domaine complexe.
4. Contrôler module, argument et nombre de solutions.

1. Situation : Pour z=2+2i, calculer |z|. Donner une réponse exacte et justifier l’étape déterminante.
   Résultat attendu : √8
   Justification : |z|=√(2²+2²)=√8.
2. Situation : Pour z=3+3i, calculer |z|. Effectuer le calcul puis contrôler le résultat.
   Résultat attendu : √18
   Justification : |z|=√(3²+3²)=√18.
3. Situation : Si z=2+2i, calculer z+z̄. La justification complète est exigée.
   Résultat attendu : 4
   Justification : z̄=2−2i ; les parties imaginaires s’annulent et z+z̄=4.

Résoudre sans consulter immédiatement la correction. Pour chaque item, écrire la propriété utilisée et contrôler le résultat.

1. Pour z=4+4i, calculer |z|. Choisir la propriété adaptée avant de conclure.
2. Pour z=5+1i, calculer |z|. Résoudre en indiquant la transformation utilisée.
3. Si z=3+3i, calculer z+z̄. On attend une solution exacte avant toute approximation.
4. Si z=4+1i, calculer z+z̄. Le raisonnement doit faire apparaître les hypothèses utilisées.

1. Lire la consigne et traduire exactement ce qui est demandé.
2. Recenser les données, contraintes et objets mathématiques utiles.
3. Choisir une propriété, un théorème ou une transformation compatible avec les hypothèses.
4. Développer le calcul proprement, sans sauter les étapes qui portent la justification.
5. Contrôler domaine, signe, unité éventuelle, ordre de grandeur et cohérence avec la question.
6. Rédiger une conclusion qui répond explicitement à la consigne.