Barycentre et lignes de niveaux

Périmètre : Terminale C uniquement. Volume indicatif de la progression 2026-2027 : Terminale C : 11 h.

La leçon est conservée comme unité autonome pour permettre la réutilisation du programme maître par série et par concours. Les volumes officiels comprennent cours, exercices, travaux dirigés et évaluations ; ils ne sont pas interprétés comme un temps d’écran obligatoire dans l’application.

Barycentre de points pondérés, réduction de sommes vectorielles et quadratiques, construction, alignement/concours de droites et détermination de lieux ou lignes de niveau.

Une maîtrise complète exige de relier les notions suivantes : Point pondéré, Barycentre, Réduction vectorielle, Associativité du barycentre, Ligne de niveau, Lieu de rapport de distances, Construction barycentrique, Application géométrique. L’objectif n’est pas d’appliquer des recettes isolées, mais de reconnaître la structure du problème, choisir l’outil pertinent, justifier son emploi puis vérifier la cohérence mathématique du résultat.

Avant toute application, identifier précisément les hypothèses : domaine de définition, non-nullité d’un dénominateur, positivité éventuelle, appartenance à un intervalle, indépendance ou continuité lorsqu’elles sont requises. Écrire les équivalences et implications dans le bon sens. Une propriété mémorisée sans ses hypothèses ne constitue pas une justification.

Dans les calculs, conserver une écriture exacte aussi longtemps que possible. N’utiliser une valeur approchée que si la consigne ou l’interprétation l’exige, et indiquer alors le niveau d’arrondi.

1. Vérifier que la somme des coefficients n’est pas nulle.
2. Construire ou identifier le barycentre.
3. Réduire l’expression de distances ou de vecteurs.
4. Reconnaître la ligne de niveau et conclure géométriquement.

1. Situation : Sur une droite, A(1), B(5) ont les poids 2 et 2. Abscisse du barycentre G ? Donner une réponse exacte et justifier l’étape déterminante.
   Résultat attendu : 3
   Justification : x_G=(2·1+2·5)/(2+2)=3.
2. Situation : Sur une droite, A(2), B(6) ont les poids 3 et 3. Abscisse du barycentre G ? Effectuer le calcul puis contrôler le résultat.
   Résultat attendu : 4
   Justification : x_G=(3·2+3·6)/(3+3)=4.
3. Situation : Quel lieu décrit MA/MB=3 avec A≠B et 3≠1 ? La justification complète est exigée.
   Résultat attendu : Un cercle d’Apollonius
   Justification : Pour un rapport positif constant différent de 1, le lieu des points M est un cercle d’Apollonius.

Résoudre sans consulter immédiatement la correction. Pour chaque item, écrire la propriété utilisée et contrôler le résultat.

1. Sur une droite, A(0), B(4) ont les poids 4 et 1. Abscisse du barycentre G ? Choisir la propriété adaptée avant de conclure.
2. Sur une droite, A(1), B(5) ont les poids 1 et 2. Abscisse du barycentre G ? Résoudre en indiquant la transformation utilisée.
3. Quel lieu décrit MA/MB=4 avec A≠B et 4≠1 ? On attend une solution exacte avant toute approximation.
4. Quel lieu décrit MA/MB=2 avec A≠B et 2≠1 ? Le raisonnement doit faire apparaître les hypothèses utilisées.

1. Lire la consigne et traduire exactement ce qui est demandé.
2. Recenser les données, contraintes et objets mathématiques utiles.
3. Choisir une propriété, un théorème ou une transformation compatible avec les hypothèses.
4. Développer le calcul proprement, sans sauter les étapes qui portent la justification.
5. Contrôler domaine, signe, unité éventuelle, ordre de grandeur et cohérence avec la question.
6. Rédiger une conclusion qui répond explicitement à la consigne.